Question

已知點P（0，5），圓C：x²+y²+4x-12y+24=0，過P點的直線l與圓C相交于A，B兩點．

（1）若弦AB的長為4

3

，求直線l的方程
（2）若弦AB的長有最小值時，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）求圓C的方程：x²+y²+4x-12y+24=0，我們可以求出圓心C的坐標和圓的半徑r，結合直線l被圓C截得的線段AB長，代入圓的弦長公式，可得弦心距d，再由點到直線距離公式，可求出直線l的斜率，由直線l過點P，可得直線的點斜式方程．解答時要注意直線l的斜率不存在時，也滿足題意．
（2）弦AB的長有最小值時，CP⊥AB，求出斜率，即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）由已知得（x+2）²+（y-6）²=16
∴圓C的圓心C（-2，6），半徑為4．
由已知|AB|=4

3

，|AC|=4
設D是線段AB的中點，則CD⊥AB，
∴|AD|=2

3

，
在Rt△ACD中，可得|CD|=2．
設所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y-5=kx，
即kx-y+5=0．由點C到直線AB的距離公式：

|-2k-6+5|

k2+1

=2，得k=

3

4

，…
此時直線l的方程為3x-4y+20=0．
又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x=0．
∴所求直線l的方程為x=0或3x-4y+20=0．
（2）弦AB的長有最小值時，CP⊥AB，
∵k_CP=-

1

2

，∴k_AB=2，
∴弦AB的長有最小值時，直線l的方程為y=2x+5．

點評：本題考查的知識點是直線與圓的位置關系，求直線的方程，求圓的方程，屬于中檔題．