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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
6
3
，焦距是函數f（x）=x2-8的零點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點，|CD|=
6
2
5
，求k的值．
考點：橢圓的簡單性質
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（1）利用焦距是函數f（x）=x2-8的零點，求出c，利用離心率e=
6
3
，求出a，即可求出橢圓的方程；
（2）y=kx+2（k≠0）代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式，即可求k的值．
解答： 解：（1）∵焦距是函數f（x）=x2-8的零點，
∴2c=2
2
，∴c=
2
，
∵e=
c
a
=
6
3
，∴a=
3
，
∴橢圓的方程為
x2
3
+y2=1；
（2）設C（x1，y1），D（x2，y2），則
y=kx+2（k≠0）代入橢圓方程可得（1+3k2）x2+12kx+9=0，
∴x1+x2=-
12k
1+3k2
，x1x2=
9
1+3k2

∴|CD|=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
6
2
5
，
∴k2=3，∴k=±
3
．
點評：本題考查橢圓的方程與性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知矩陣M=
1
b
的一個特征值λ1=3及對應的一個特征向量
e1
=
.
1
1
.
．
（1）求a，b的值；
（2）求曲線C：x2+4xy+13y2=1在M對應的變換作用下的新曲線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

過P（1，3）作兩互相垂直的直線l1和l2，l1交x軸于點A，l2與y軸交于點B，求線段AB中點M的軌跡方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知曲線C1的極坐標方程為ρcos（θ-
π
3
）=-1，曲線C2的極坐標方程為ρ=2
2
cos（θ-
π
4
）．以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系．
（1）求曲線C2的直角坐標方程；
（2）求曲線C2上的動點M到曲線C1的距離的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=ex-
1
2
x2-ax（a∈R）．
（Ⅰ）若函數f（x）的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函數在R上是增函數，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知（x
x
+
1
3x
）n的展開式中，前三項的二項式系數之和為37．
（Ⅰ）求n的值；    
（Ⅱ）求x的整數次冪的項．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinx，
3
4
），
b
=（cosx，-1）．
（1）當
a
∥
b
時，求
cos2x-sin2x
cos2x
的值；
（2）設函數f（x）=2（
a
+
b
）•
b
，求f（x）在[0，
7π
24
]上的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，已知a=4，c=5，且S△ABC=6，求b．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若雙曲線x2+
y2
k
=1的焦點到漸近線的距離為2
2
，則實數k的值是
 
．

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