Question

【題目】已知函數(shù)在處的切線為.

(1)求的解析式.

(2)若對(duì)任意，有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

(3)證明：對(duì)任意成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解；（2）先討論和兩種特殊情況，再對(duì)于時(shí)，作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值；（3）借助（2）的結(jié)論，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值進(jìn)行求解.

試題解析：（1）由得，所以切線為y=ex，

由切點(diǎn)為（1，e+b）在切線y=ex上， b=0,所以

（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于，顯然不恒成立

當(dāng)時(shí)，顯然成立

當(dāng)時(shí)，若要恒成立，必有

設(shè)則

易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,則

若恒成立，即，得

綜上得

（3）證法1：由（1）知成立，構(gòu)造函數(shù)

所以

有成立（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）。由（1）知成立（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），

所以有成立，即對(duì)任意成立

證法2，因?yàn)?/span>，所以要證，只須證

令

令所以在（0，+）遞增，

由于

所以存在有，則，

即得得

所以

所以成立，即成立

即對(duì)任意成立