Question

4．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB₁與側(cè)面ACC₁A₁所成角的正弦值等于$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正三棱柱及線面角的定義知，取A₁C₁的中點(diǎn)D₁，∠B₁AD₁是所求的角，再由已知求出正弦值．

解答 解：取A₁C₁的中點(diǎn)D₁，連接B₁D₁，AD₁，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁D₁⊥面ACC₁A₁，
則∠B₁AD₁是AB₁與側(cè)面ACC₁A₁所成的角，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長與底面邊長相等，
∴sin∠B₁AD₁=$\frac{{B}_{1}{D}_{1}}{A{B}_{1}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}AB}{\sqrt{2}AB}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了線面角問題，求線面角關(guān)鍵由題意過線上一點(diǎn)作出面的垂線，再求線面角的正弦值，是中檔題．