Question

1．.已知函數(shù)f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x，x∈R．
（1）求f（x）的最大值及相應(yīng)的x的取值集合．
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的最值，求得f（x）的最大值及相應(yīng)的x的取值集合．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）∵$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x+1=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈z）$，即$x=kπ+\frac{π}{6}$時，f（x）取得最大值3．
∴f（x）的最大值為3，相應(yīng)的x的取值集合為$\left\{{x\left|{x=\frac{π}{6}+kπ，k∈z}\right.}\right\}$．
（2）解不等式$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，（k∈z），求得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
∴f（x）的遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]（k∈Z）$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的最值以及單調(diào)性，屬于中檔題．