Question

求滿足下列條件的直線l方程．
（1）直線l過原點且與直線l₁：y=

3

3

x+1的夾角為

π

6

；
（2）直線l過直線l₁：x+3y-1=0與l₂：2x-y+5=0的交點，且點A（2，1）到l的距離為2

2

．

Answer 1

分析：（1）根據題意，算出直線l的傾斜角為0或

π

3

，可得直線l的斜率，再由直線l經過原點，即可得到直線l的方程；
（2）設直線l為x+3y-1+λ（2x-y+5）=0，化成一般式再利用點到直線的距離公式，建立關于λ的方程解出λ=

2

3

或-4，由此即可得到所求直線l的方程．

解答：解：（1）∵直線l₁的傾斜角為

π

6

，直線l與直線l₁的夾角為

π

6

；
∴直線l的傾斜角應為0或

π

3

，
所以直線l的斜率k=0或

3

，
又∵直線l過原點，∴直線l的方程為：y=0或

3

x-y=0
（2）根據題意，設直線l為x+3y-1+λ（2x-y+5）=0，
整理得（2λ+1）x+（3-λ）y-1+5λ=0，
∵點A（2，1）到l的距離為2

2

，
∴

|4+8λ|

(2λ+1)2+(3-λ)2

=2

2

，解之得λ=

2

3

或-4，
所以直線l方程為x+y+1=0或x-y+3=0

點評：本題給出直線l滿足的條件，求直線l的方程，著重考查了直線的基本量與基本形式、點到直線的距離公式等知識，屬于基礎題．