Question

已知橢圓的長軸長為，離心率為，分別為其左右焦點．一動圓過點，且與直線相切。

（Ⅰ） （ⅰ）求橢圓的方程；   （ⅱ）求動圓圓心軌跡的方程；

（Ⅱ） 在曲線上有兩點，橢圓上有兩點，滿足與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）（ⅰ）由已知可得，

則所求橢圓方程.　…………3分　　　　　　　　

（ⅱ）由已知可得動圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線的焦點為，準線方程為，則動圓圓心軌跡方程為.  …………6分

（Ⅱ）當直線MN的斜率不存在時，|MN|=4，此時PQ的長即為橢圓長軸長，|PQ|=4，

從而. …………8分

設(shè)直線的斜率為，則,直線的方程為：  直線PQ的方程為，

設(shè)

由，消去可得…………9分

由拋物線定義可知：

由，消去得，…………10分

從而，          

∴…………11分

令，∵k>0，則  則

…………12分

所以          所以四邊形面積的最小值為8.   

_{的最后一步另解：}