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已知向量
p
、
q
滿足條件：|
p
|=2
2
，|
q
|=3，
p
、
q
的夾角為
π
4
，如圖，若
AB
=5
p
+2
q
，
AC
=
p
-3
q
，且D為BC的中點(diǎn)，則
AD
的長(zhǎng)度為（　　）
分析：根據(jù)向量的加法法則得2
AD
=
AB
+
AC
，結(jié)合題意得出
AD
=3
p
-
1
2
q
．由數(shù)量積的公式算出
p
•
q
=6，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)算出
AD
2=（3
p
-
1
2
q
）2=
225
4
，從而可得
AD
的長(zhǎng)度．
解答：解：∵
AB
=5
p
+2
q
，
AC
=
p
-3
q
，
∴根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，可得2
AD
=
AB
+
AC
=6
p
-
q
，
∴
AD
=3
p
-
1
2
q

∵|
p
|=2
2
，|
q
|=3，
p
、
q
的夾角為
π
4
，
∴
p
2=|
p
|2=8，
q
2=|
q
|2=9，
p
•
q
=
|p|
•
|q|
cos
π
4
=6
由此可得
AD
2=（3
p
-
1
2
q
）2=9
p
2-3
p
•
q
+
1
4
q
2=9×8-3×6+
9
4
=
225
4

∴
|AD|
=
AD
2
=
15
2
（舍負(fù)），即
AD
的長(zhǎng)度為
15
2
．
故選：A
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了向量的加法法則、向量的數(shù)量積運(yùn)算公式及其性質(zhì)、向量模的公式等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)與向量、圓交匯．例5：已知F1、F2分別為橢圓C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下焦點(diǎn)，其中F1也是拋物線C2：x2=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn)，且|MF1|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知點(diǎn)P（1，3）和圓O：x2+y2=b2，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)A，B，在線段AB上取一點(diǎn)Q，滿足：
AP
=-λ
PB
，
AQ
=λ
QB
，（λ≠0且λ≠±1）．問(wèn)點(diǎn)Q是否總在某一定直線上？若在，求出這條直線，否則，說(shuō)明理由．

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（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知點(diǎn)P（1，3）和圓O：x2+y2=b2，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)A，B，在線段AB上取一點(diǎn)Q，滿足：，，（λ≠0且λ≠±1）．問(wèn)點(diǎn)Q是否總在某一定直線上？若在，求出這條直線，否則，說(shuō)明理由．

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（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知點(diǎn)P（1，3）和圓O：x2+y2=b2，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)A，B，在線段AB上取一點(diǎn)Q，滿足：，，（λ≠0且λ≠±1）．問(wèn)點(diǎn)Q是否總在某一定直線上？若在，求出這條直線，否則，說(shuō)明理由．

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（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知點(diǎn)P（1，3）和圓O：x2+y2=b2，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)A，B，在線段AB上取一點(diǎn)Q，滿足：，，（λ≠0且λ≠±1）．問(wèn)點(diǎn)Q是否總在某一定直線上？若在，求出這條直線，否則，說(shuō)明理由．

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（2）已知點(diǎn)P（1，3）和圓O：x2+y2=b2，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)A，B，在線段AB上取一點(diǎn)Q，滿足：，，（λ≠0且λ≠±1）．問(wèn)點(diǎn)Q是否總在某一定直線上？若在，求出這條直線，否則，說(shuō)明理由．

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