Question

設二次函數(shù)在[－1，4]上的最大值為12，且關于x的不等式的解集為（0，5）．

（1）求的解析式；

（2）若對任意的實數(shù)x都有恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

 

Answer 1

（1）;（2）

【解析】

試題分析：（1）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解題的關鍵是對稱軸與區(qū)間的關系，當含有參數(shù)時，要依據對稱軸與區(qū)間的關系進行分類討論；（2）二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個”二次，它們常結合在一起，有關二次函數(shù)的問題，數(shù)形結合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法，一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點值符合四個方面分析；（3）二次函數(shù)的綜合問題應用多涉及單調性與最值或二次方程根的分布問題，解決的主要思路是等價轉化，多用到數(shù)形結合思想與分類討論思想

試題解析：解：（1）依題意可設二次函數(shù)的解析式為f（x）=ax（x-5）且a>0，則

∴f（x）=ax（x-5）=a（x-2．5）2-6．25a

又∵f（x）在[-1,4]上的最大值為12

∴6a=12 ? a=2

∴

（2）解法一：設t=1-，則0≤t≤2

∴f（2-2cosx）<f（1--m）

?2·2t·（2t-5）<2·（t-m）·（t-m-5）

?（3t-m-5）（t+m）<0

∴實數(shù)m的取值范圍為

解法二：因為f（x）的對稱軸為且其圖象開口向上

所以f（2-2cosx）<f（1--m）等價于

|2-2cosx-|<|1--m-| 即|2cosx+|<|+m+|

令即|2t-|<|t+m|

∴實數(shù)m的取值范圍為 ．

考點：（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）恒成立的問題