Question

【題目】如圖1，在梯形中，，過分別作，，垂足分別為.，，已知，將梯形沿同側(cè)折起，得空間幾何體，如圖2.

（1）若，證明：平面.

（2）若，，是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接，證明平面內(nèi)的兩條相交直線，即可證明結(jié)論；

（2）過作交于點(diǎn)，可知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，求出即可得答案；

（1）連接，由已知得四邊形是正方形，且邊長(zhǎng)為2，

在題圖2中，，

由已知得，，平面.

平面，.

，，平面.

（2）在題圖2中，，，，即平面，

在梯形中，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，

由題意得，，由勾股定理的逆定理可得，則，，

過作交于點(diǎn)，可知兩兩垂直，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由得取得.

設(shè)與平面所成的角為，，

則.