Question

1．已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點，極軸與x軸的正半軸重合．曲線C的極坐標方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{3}t\\ y=1+t\end{array}\right.$（t為參數，t∈R），
（1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（2）試求曲線C上的點到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，利用互化公式可得：曲線C的普通方程．直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{3}t\\ y=1+t\end{array}\right.$（t為參數，t∈R），消去參數t可得：直線l的普通方程．
（2）設點M的直角坐標是$（\sqrt{3}cosθ，sinθ）$，利用點到直線的距離公式可得：點M到直線l的距離是d=$\frac{{\sqrt{3}|{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）-1}|}}{2}$，再利用三角函數的單調性與值域即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，利用互化公式可得：曲線C的普通方程是$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{3}t\\ y=1+t\end{array}\right.$（t為參數，t∈R），消去參數t可得：直線l的普通方程是$x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}=0$．
（2）設點M的直角坐標是$（\sqrt{3}cosθ，sinθ）$，
則點M到直線l的距離是$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosθ+\sqrt{3}sinθ-\sqrt{3}}|}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}|{\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）-1}|}}{2}$，
因此當$sin（θ+\frac{π}{4}）=-1$時，d取得最大值為$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程互化公式、參數方程化為普通方程、點到直線的距離公式、三角函數的單調性與值域、橢圓參數方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．