Question

如圖，A、B是單位圓O上的點(diǎn)，C、D分別是圓O與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，△ABO為正三角形．
（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求cos∠BOC的值；
（2）若∠AOC=x（0＜x＜），四邊形CABD的周長(zhǎng)為y，試將y表示成x的函數(shù)，并求出y的最大值．

Answer 1

解：（1）∵△ABO為正三角形
∴∠BOA=60°
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為
∴tan∠AOC=，
∴sin∠AOC=，cos∠AOC=
∴cos∠BOC=cos（∠AOC+60°）=cos∠AOCcos60°-sin∠AOCsin60°=；

（2）由余弦定理可知AC==2sin，BD==2sin（-），
AB=OB=1，CD=2，
∴
=
=
=，0＜x＜
∴當(dāng)x=時(shí)，y_max=5
分析：（1）根據(jù)△ABO為正三角形求得∠BOA，利用點(diǎn)A的坐標(biāo)求得sin∠AOC和cos∠AOC，進(jìn)而利用兩角和公式求得cos∠BOC．
（2）利用余弦定理分別求得AC和BD，進(jìn)而根據(jù)△ABO為正三角形求得AB，CD可知，四邊相加得到y(tǒng)的函數(shù)解析式，利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理后，利用x的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．