Question

已知函數(shù)
（1）若函數(shù)存在極大值和極小值，求的取值范圍；
（2）設(shè)分別為的極大值和極小值，其中且求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）因為函數(shù)，所以要求函數(shù)存在極大值和極小值即對函數(shù)的求導(dǎo)，要保證導(dǎo)函數(shù)的對應(yīng)的方程有兩個不相等的正實根.所以通過判別式大于零和韋達定理中根與系數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論.
（2）根據(jù)極大值與極小值的含義得到兩個相應(yīng)的方程，又由兩個極值點的關(guān)系，將其中一個消去，由兩個極值相加可得關(guān)于關(guān)于極大值點的等式從而通過基本不等式求最值即可.
試題解析：（1）其中
由題設(shè)知且關(guān)于的方程有兩個不相等的正數(shù)根，
記為滿足化簡得
經(jīng)檢驗滿足題設(shè)，故為所求.
（2）方法一：由題設(shè)結(jié)合知，
且
所以
 ，
因為，所以在區(qū)間是減函數(shù)，
所以設(shè)且，
所以在區(qū)間上是減函數(shù)，
所以
因此
方法二：由題設(shè)結(jié)合知
且
所以
，
設(shè)，，
所以在區(qū)間上是增函數(shù)，
而，設(shè)，則在時是增函數(shù)，
所以當(dāng)時，，即，
所以且
因此
方法三：由方法一知
設(shè)，則

所以在區(qū)間上是增函數(shù)，而
所以
方法四：前同方法二知，
當(dāng)時，關(guān)于的方程有兩個不相等的正數(shù)根
那么即解得，
下同方法二.