Question

定義：如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在函數f（x）的定義域內，就有f（a），f（b），f（c）也是某個三角形的三邊長，則稱f（x）為“保三角形函數”．若函數h（x）=lnx（x∈[M，+∞））是保三角形函數，求M的最小值為

 

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Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：首先證明當M≥2時，函數h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函數，然后證明當0＜M＜2時，h（x）=lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函數，從而求出所求．

解答： 解：首先證明當M≥2時，函數h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函數．
對任意一個三角形三邊長a，b，c∈[M，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，
則h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc．
因為a≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a-1）（b-1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，
即lna+lnb＞lnc．
同理可證明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．
所以lna，lnb，lnc是一個三角形的三邊長．
故函數h（x）=lnx （x∈[M，+∞），M≥2），是保三角形函數…13分
（ii）其次證明當0＜M＜2時，h（x）=lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函數，
因為0＜M＜2，所以M+M=2M＞M²，所以M，M，M²是某個三角形的三條邊長，
而lnM+lnM=2lnM=lnM²，所以lnM，lnM，lnM²不能為某個三角形的三邊長，所以h（x）=lnx 不是保三角形函數．
所以，當M＜2時，h（x）=lnx （x∈[M，+∞））不是保三角形函數．
綜上所述：M的最小值為2

點評：要想判斷f（x）為“保三角形函數”，要經過嚴密的論證說明f（x）滿足“保三角形函數”的概念，但要判斷f（x）不為“保三角形函數”，僅須要舉出一個反例即可，屬于創(chuàng)新題．