Question

（14分）在空間直角坐標系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），試問

（1）在y軸上是否存在點M，滿足？（2）在y軸上是否存在點M，使△MAB為等邊三角形？若存在，試求出點M坐標．

 

Answer 1

【答案】

（1）y軸上所有點都滿足關系．（2）y軸上存在點M使△MAB等邊，M坐標為（0，，0），或（0，，0）．

【解析】

試題分析：解：（1）假設在在y軸上存在點M，滿足．

因Ｍ在y軸上，可設M（0，y，0），由，可得，

顯然，此式對任意恒成立．這就是說y軸上所有點都滿足關系．

（2）假設在y軸上存在點M，使△MAB為等邊三角形．

由（1）可知，y軸上任一點都有，所以只要就可以使得△MAB是等邊三角形．

因為

于是，解得

故y軸上存在點M使△MAB等邊，M坐標為（0，，0），或（0，，0）．

考點：本題主要考查空間直角坐標系、空間兩點間的距離公式的應用。

點評：對存在性問題，往往先假定存在，再加以探究。