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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

【題目】已知數(shù)列的前項和為，且，（）.

（1）計算，，，，并求數(shù)列的通項公式；

（2）若數(shù)列滿足，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）由數(shù)列的項組成一個新數(shù)列：，，，，，設(shè)為數(shù)列的前項和，試求的值.

【答案】（1）詳見解析，；（2）；（3）1

【解析】

（1）通過計算出前幾項的值，猜想通項公式，進而利用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（2）通過與作差，進而計算即得結(jié)論；

（3）通過（2），利用分組法求和，進而計算可得結(jié)論．

（1）解：當(dāng)時，由，得；

由，得；

當(dāng)時，由，得；

猜想：．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時，，結(jié)論顯然成立；

②假設(shè)當(dāng)時，，

由條件知，

故

＝

＝，

于是，

從而，

故數(shù)列的通項公式為：；

（2）證明：當(dāng)時，，當(dāng)時，由條件得

＝

從而，

故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；

（3）解：由題意，得

故

，

從而.

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(1)證明: 平面;

(2)在中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中,稱圖中所示的五面體為“芻甍”(chúméng),書中將芻甍的體積求法表述為:

術(shù)曰:倍下袤,上袤從之,以廣乘之,又以高乘之,六而一.其意思是:若芻甍的“下袤” 的長為,“上袤” 的長為,“廣” 的長為,“高”即“點到平面的距離”為,則芻甍的體積的計算公式為: ,證明該體積公式.

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（1）當(dāng)時，求函數(shù)的零點個數(shù)；

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（2）設(shè)，且，若，求的值．

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