Question

【題目】已知橢圓C：（）的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上，直線(xiàn)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B.

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線(xiàn)，分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，問(wèn)：x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；點(diǎn)

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)列出方程組，求解即可；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)Q使得，根據(jù)幾何關(guān)系得出，進(jìn)而得到，設(shè)出直線(xiàn)，的方程，得出的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到，結(jié)合，解出的值，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解：（1）由題意

解得，.

所以橢圓C的方程為.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)Q使得.設(shè)

因?yàn)?/span>，所以.則.

即，所以.

因?yàn)橹本�(xiàn)交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

設(shè)，（），

因?yàn)?/span>，則直線(xiàn)的方程為：.

令，得.

直線(xiàn)的方程為：.

令，得.

因?yàn)?/span>，所以.

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以.

所以.即.

所以存在點(diǎn)使得成立.