Question

在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線過(guò)點(diǎn)且與曲線交于，兩點(diǎn)．

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）是否存在△面積的最大值，若存在，求出△的面積；若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在面積的最大值為.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)易得橢圓方程；（2）先設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線方程，然后把直線方程和橢圓方程聯(lián)立得關(guān)于y的一元二次方程，解出，，則 ，從而得△面積的表達(dá)式，再由不等式性質(zhì)求得面積最大值．

試題解析：（1）由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以，為焦點(diǎn)，

長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓，                    3分

故曲線C的方程為．             6分

（2）存在面積的最大值．               7分

因?yàn)橹本�過(guò)點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為或（舍），

則整理得 ．             8分

由．設(shè)．

解得  ，  ．則 ．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121809161287389036/SYS201312180917402332501473_DA.files/image019.png">．          11分

設(shè)，，．

則在區(qū)間上為增函數(shù)．所以．

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即．

所以的最大值為．                        14分

考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)；2、直線與橢圓相交問(wèn)題；3、不等式的性質(zhì)．