Question

【題目】已知圓C：，直線：．

（1）若直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為 ，求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)t =1時(shí)，由直線上的動(dòng)點(diǎn)P引圓C的兩條切線，若切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB是否恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）t =11；（2）

【解析】

（1）根據(jù)垂徑定理列式求實(shí)數(shù)的值；（2）先根據(jù)切點(diǎn)A，B在以CP為直徑的圓，再根據(jù)兩圓方程得切點(diǎn)弦方程，最后根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P在直線上，確定切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn).

(1)圓C的方程可化為 ,

則圓心C到直線的距離為

又弦長(zhǎng)為 ，則

即 ，解得t =11.

（2）當(dāng)t =1時(shí)，圓C的方程為①

則圓心為C（3，5），半徑 ，圓C與直線相離

假設(shè)在直線AB上存在一個(gè)定點(diǎn)滿足條件，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（m，n），由已知得PA⊥AC，PB⊥BC

則A，B在以CP為直徑的圓（x﹣3）（x﹣m）+（y﹣5）（y﹣n）=0

即②

①﹣②得，直線AB的方程為（m﹣3）x+（n﹣5）y﹣3m﹣5n﹣6=0③

又點(diǎn)P（m，n）在直線上，則m+3n+12=0，即m=﹣3n﹣12，代入③式

得（﹣3n﹣15）x+（n﹣5）y+4n+30=0

即直線AB的方程為15x+5y﹣30+n（3x﹣y﹣4）=0

因?yàn)樯鲜綄?duì)任意n都成立，故 ，得

故直線AB恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為