Question

求函數y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x的最小正周期、最小值和單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：把函數解析式中的第一與第三項結合，利用平方差公式分解因式，根據同角三角函數間的基本關系及二倍角的余弦函數公式化簡，第二項利用二倍角的正弦函數公式化簡，然后提取2后，利用兩角差的正弦函數公式化為一個角2x-

π

6

的正弦函數，找出λ的值，利用周期公式T=

2π

λ

即可求出最小正周期，根據正弦函數的值域得到正弦函數的最小值為-1，即可求出函數y的最小值，根據正弦函數的單調遞增區(qū)間得到2x-

π

6

的范圍，求出x的范圍即為函數y的遞增區(qū)間．

解答：解：y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x
=sin⁴x-cos⁴x+2

3

sinxcosx
=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）+2

3

sinxcosx
=-cos2x+

3

sin2x
=2（sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

）
=2sin（2x-

π

6

）
∴T=

2π

2

=π，y_min=-2，
又∵-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，
∴-

π

3

+2kπ≤2x≤

2π

3

+2kπ，即-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，
所以y=2sin（2x-

π

6

）的單調增區(qū)間是[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，三角函數的恒等變形及三角函數的最值．把函數y的解析式利用三角函數的恒等變形化為一個角的正弦函數是解本題的關鍵．同時本題的技巧性比較強，要求學生熟練掌握三角函數的恒等變形公式及法則．