Question

5．在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過M，F(xiàn)，O三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線C的準線的距離為$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過點F的直線交軌跡C于A，B兩點，交拋物線C的準線l于點M，已知$\overrightarrow{MA}={λ_1}\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}={λ_2}\overrightarrow{BF}$，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

分析 （I）⊙Q過M、F、O三點，結(jié)合圓的性質(zhì)得Q點一定在線段FO的中垂線y=$\frac{p}{4}$上，再根據(jù)Q到拋物線C的準線的距離為3，由此列方程并解之可得p=2，從而得到拋物線C的方程；
（II）設(shè)直線l：y=kx+1，M點坐標為（-$\frac{2}{k}$，-1），設(shè)直線l交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直線與拋物線方程聯(lián)立，可得：x²+16kx-64=0，再由根的判別式和韋達定理能求出λ₁+λ₂的值．

解答 解：（Ⅰ）∵⊙Q過M、F、O三點，
∴Q一定在線段FO的中垂線上，
∵拋物線x²=2py的焦點F（0，$\frac{p}{2}$），O（0，0）
∴FO的中垂線為：y=$\frac{p}{4}$，設(shè)Q（x_Q，y_Q），得y_Q=$\frac{p}{4}$，
結(jié)合拋物線的定義，得Q到拋物線C的準線的距離為$\frac{p}{4}$-（-$\frac{p}{2}$）=$\frac{3}{2}$，解之得p=2
由此可得，拋物線C的方程為x²=4y；
（Ⅱ）由已知得直線l的斜率一定存在，
由拋物線x²=4y的焦點F為（0，1），準線方程為y=-1，
所以可設(shè)l：y=kx+1，則M點坐標為（-$\frac{2}{k}$，-1），
設(shè)直線l交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線與拋物線方程聯(lián)立，可得x²-4kx-4=0
∴x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4，
又由$\overrightarrow{MA}={λ_1}\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}={λ_2}\overrightarrow{BF}$，
∴（x₁+$\frac{2}{k}$，y₁+1）=λ₁（-x₁，1-y₁），
∴x₁+$\frac{2}{k}$=-λ₁x₁，
∴λ₁=-$\frac{2}{k{x}_{1}}$-1，
同理λ₂=-$\frac{2}{k{x}_{2}}$-1，
∴λ₁+λ₂=-$\frac{2}{k{x}_{1}}$-1-$\frac{2}{k{x}_{2}}$-1=-$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{k{x}_{1}{x}_{2}}$-2=0．

點評 本題給出拋物線上兩個點與它的焦點在同一個圓上，在已知圓心到準線距離的情況下求拋物線方程并探索求λ₁+λ₂的值，著重考查了拋物線的標準方程、簡單幾何性質(zhì)和直線與拋物線關(guān)系等知識，屬于中檔題．