Question

10．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x²+mx-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題：
（1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；
（2）證明過A、B、C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)曲線y=x²+mx-2與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0），運(yùn)用韋達(dá)定理，再假設(shè)AC⊥BC，運(yùn)用直線的斜率之積為-1，即可判斷是否存在這樣的情況；
（2）設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0），由題意可得D=m，F(xiàn)=-2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圓在y軸的交點(diǎn)，進(jìn)而得到弦長(zhǎng)為定值．

解答 解：（1）曲線y=x²+mx-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
可設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），
由韋達(dá)定理可得x₁x₂=-2，
若AC⊥BC，則k_AC•k_BC=-1，
即有$\frac{1-0}{0-{x}_{1}}$•$\frac{1-0}{0-{x}_{2}}$=-1，
即為x₁x₂=-1這與x₁x₂=-2矛盾，
故不出現(xiàn)AC⊥BC的情況；
（2）證明：設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0），
由題意可得y=0時(shí)，x²+Dx+F=0與x²+mx-2=0等價(jià)，
可得D=m，F(xiàn)=-2，
圓的方程即為x²+y²+mx+Ey-2=0，
由圓過C（0，1），可得0+1+0+E-2=0，可得E=1，
則圓的方程即為x²+y²+mx+y-2=0，
另解：設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的圓在y軸上的交點(diǎn)為H（0，d），
則由相交弦定理可得|OA|•|OB|=|OC|•|OH|，
即有2=|OH|，
再令x=0，可得y²+y-2=0，
解得y=1或-2．
即有圓與y軸的交點(diǎn)為（0，1），（0，-2），
則過A、B、C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的方程的求法，注意運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，以及待定系數(shù)法，考查方程思想和化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．