Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n，S_n，S_n-

1

2

成等比數(shù)列，
（1）求a₂，a₃，a₄并歸納出a_n的表達(dá)式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明所得結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，得到關(guān)于數(shù)列的遞推關(guān)系式，即可求得此數(shù)列的前幾項(xiàng)．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題時(shí)分為兩個(gè)步驟，第一步，先證明當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論顯然成立，第二步，先假設(shè)n=k時(shí)命題成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，利用假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可．

解答： 解：（1）由已知當(dāng)n≥2時(shí)，a_n，S_n，S_n-

1

2

成等比數(shù)列，
得到Sn2=an(Sn-

1

2

)，
∵a₁=1，∴a2=-

2

3

，a3=-

2

15

，a4=-

2

35

；
歸納n＞1時(shí)，a_n=-

2

(2n-3)(2n-1)

；所以an=

1，n=1 2 (2n-3)(2n-1) ，n＞1

；
（2）證明：①當(dāng)n=2時(shí)，a2=-

2

3

=-

2

(2×2-3)(2×2-1)

成立；
②假設(shè)n=k時(shí)公式成立，即ak=-

2

(2k-3)(2k-1)

成立，
則n=k+1時(shí)，

∵sk2=- 2 (2k-3)(2k-1) (sk- 1 2 )⇒sk=- 1 2k-3 ＜0(舍)或sk= 1 2k-1 ＞0 ∵sk+12=ak+1(sk+1- 1 2 )⇒(sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+sk- 1 2 )

∴

1

(2k-1)2

+

2ak+1

2k-1

+ak+12=ak+12+

ak+1

2k-1

-

1

2

ak+1；
∴ak+1=-

2

(2k-1)(2k+1)

=-

2

[2(k+1)-3][2(k+1)-1]

；
∴n=k+1時(shí)，命題成立．
由①②可得a_n=-

2

(2n-3)(2n-1)

對(duì)n＞1的一切正整數(shù)都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立；2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．