Question

已知函數(shù)f(x)=

2

sin2x+

2

cos2x，x∈R．
（1）求f（x）的最大值和最小正周期；
（2）若f（

α

2

-

π

8

）=

3

2

，α是第二象限的角，求sin2α．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的正弦公式對(duì)解析式化簡(jiǎn)，由正弦函數(shù)的最值和三角函數(shù)的周期公式求出函數(shù)的最大值和周期；
（2）將x=

α

2

-

π

8

代入由（1）求出的解析式，化簡(jiǎn)后求出正弦值，再由角的范圍和平方關(guān)系求出余弦值，再代入二倍角的正弦公式求值即可．

解答：解（1）由題意得，f(x)=2(

2

2

sin2x+

2

2

cos2x)
=2sin（2x+

π

4

），
∴f（x）的最大值為2，
且函數(shù)的最小正周期為T=

2π

2

=π，
（2）由（1）知，f(x)=2sin(2x+

π

4

)，
∵f(

α

2

-

π

8

)=

3

2

，∴2sinα=

3

2

，
即sinα=

3

4

，
又∵α是第二象限的角，
∴cosα=-

1-sin2α

=-

13

4

，
∴sin2α=2sinαcosα=2×

3

4

×（-

13

4

）=-

39

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了倍角公式和兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用，考查了的知識(shí)點(diǎn)較多，需要熟練掌握．