Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，
（1）點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A′．求證：A′D⊥EF．
（2）當(dāng)BE=BF=BC時(shí)，求三棱錐A′﹣EFD體積．

Answer 1

【答案】（1）證明：由已知，折疊前，有AD⊥AE，CD⊥CF，
折疊后，有A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
又∵A′E∩A′F=A′，A′E、A′F平面A′EF，
∴A′D⊥平面A′EF，
∵EF平面A′EF，
∴A′D⊥EF；
（2）解：取EF的中點(diǎn)G，連接A′G，則
由BE=BF=BC可知，
△A′EF為腰長(zhǎng)，底邊長(zhǎng)為的等腰三角形，
∴=，則=XX=
與（1）同理可得，A′D⊥平面A′EF，且A′D=2，
∴=XX2=．

【解析】（1）利用折疊前后直角不變，結(jié)合線面垂直的判定得到A′D⊥平面A′EF，從而得到A′D⊥EF；
（2）求出△A′EF的面積，結(jié)合DA′⊥面A′EF，利用等積法把三棱錐A′﹣EFD體積轉(zhuǎn)化為三棱錐D﹣A′EF的體積求解．