Question

某度假區(qū)以2014年索契冬奧會為契機(jī)，依山修建了高山滑雪場．為了適應(yīng)不同人群的需要，從山上A處到山腳滑雪服務(wù)區(qū)P處修建了滑雪賽道A-C-P和滑雪練習(xí)道A-E-P（如圖）．已知cos∠ACP=一

5

5

，cos∠APC=

4

5

，cos∠APE=

2

3

，公路AP長為10（單位：百米），滑道EP長為6（單位：百米）．
（Ⅰ）求滑道CP的長度；
（Ⅱ）由于C，E處是事故的高發(fā)區(qū)，為及時處理事故，度假區(qū)計劃在公路AP上找一處D，修建連接道
DC，DE，問DP多長時，才能使連接道DC+DE最短，最短為多少百米？

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：綜合題,解三角形

分析：（Ⅰ）先求出sin∠PAC=sin（∠ACP+∠APC）=

5

5

，再利用正弦定理求滑道CP的長度；
（Ⅱ）利用余弦定理計算DE，DC，利用配方法，可求DC+DE最短．

解答： 解：（Ⅰ）∵cos∠ACP=一

5

5

，cos∠APC=

4

5

，
∴sin∠ACP=

2 5

5

，sin∠APC=

3

5

，
∴sin∠PAC=sin（∠ACP+∠APC）=

5

5

，
∵

AP

sin∠ACP

=

PC

sin∠PAC

，
∴CP=5，即滑道CP的長度為5百米；
（Ⅱ）設(shè)DP=x，x∈[0，10]，
∵EP=6，CP=5，cos∠APC=

4

5

，cos∠APE=

2

3

，
∴DE=

x2+36-2x•6•cos∠APE

=

x2-8x+36

，
DC=

x2+25-2x•5•cos∠APC

=

x2-8x+25

∴DE+DC=

x2-8x+36

+

x2-8x+25

=

(x-4)2+20

+

(x-4)2+9

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=4時，（DE+DC）_min=3+2

5

．

點(diǎn)評：本題考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查配方法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．