Question

19．求下列曲線的標準方程：
（1）與橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同的焦點，直線y=$\sqrt{3}$x為一條漸近線．求雙曲線C的方程．
（2）焦點在直線3x-4y-12=0 的拋物線的標準方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓方程求出雙曲線的焦點坐標，設出以直線y=$\sqrt{3}$x為一條漸近線的雙曲線方程${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=λ$（λ＞0），然后結(jié)合焦點坐標求得λ，則曲線方程可求；
（2）求出直線在兩坐標軸上的截距，然后直接分類代入拋物線方程得答案．

解答 解：（1）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，得a²=8，b²=4，
∴c²=a²-b²=4，則焦點坐標為F（2，0），
∵直線y=$\sqrt{3}$x為雙曲線的一條漸近線，
∴設雙曲線方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=λ$（λ＞0），
即$\frac{{x}^{2}}{λ}-\frac{{y}^{2}}{3λ}=1$，則λ+3λ=4，λ=1．
∴雙曲線方程為：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由3x-4y-12=0，得$\frac{x}{4}-\frac{y}{3}=1$，
∴直線在兩坐標軸上的截距分別為（4，0），（0，-3），
∴分別以（4，0），（0，-3）為焦點的拋物線方程為：
y²=16x或x²=-12y．

點評 本題考查橢圓方程和拋物線方程的求法，對于（1）的求解，設出以直線$y=±\frac{a}x$為一條漸近線的雙曲線方程是關鍵，是中檔題．