Question

【題目】已知f（x）=loga （a＞0，且a≠1）．
（1）證明f（x）為奇函數(shù)；
（2）求使f（x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意可得 ＞0，即（1+x）（1﹣x）＞0，

即 （x+1）（x﹣1）＜0，求得﹣1＜x＜1，

所以函數(shù)定義域為（﹣1，1），關(guān)于原點對稱．

再根據(jù)f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x），可得f（x）為奇函數(shù)

（2）解：不等式f（x）＞0，即 ＞0，

由（1）得函數(shù)定義域為函數(shù)定義域為（﹣1，1），

當(dāng)a＞1時，即 ＞loga1，∴ ，

即 ＜0，∴2x（x﹣1）＜0，求得 0＜x＜1．

當(dāng)0＜a＜1時，f（x）＞0，即 ＞loga1，∴0＜ ＜1，

即 ＜0，且 ＞0，∴﹣1＜x＜0．

綜上，當(dāng)a＞1時，不等式的解集為（0，1），當(dāng)0＜a＜1時，不等式的解集為（﹣1，0）．

【解析】（1）由題意可得 ＞0，求得函數(shù)的定義域為（﹣1，1），關(guān)于原點對稱．再根據(jù)f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）為奇函數(shù)．（2）不等式f（x）＞0，即 ＞0，分類討論a的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性，求得x的范圍．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．