Question

（本題12分）已知圓C的圓心為C（m，0），（m<3），半徑為，圓C與橢圓E： 有一個公共點A(3,1)，分別是橢圓的左、右焦點；
（Ⅰ）求圓C的標準方程；
（Ⅱ）若點P的坐標為(4,4)，試探究斜率為k的直線與圓C能否相切，若能，求出橢
圓E和直線的方程，若不能，請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知可設圓C的方程為
將點A的坐標代入圓C的方程，得
即，解得
∵   ∴
∴圓C的方程為
（Ⅱ）直線與圓C相切，依題意設直線的方程為，即
若直線與圓C相切，則
∴，解得
當時，直線與x軸的交點橫坐標為，不合題意，舍去
當時，直線與x軸的交點橫坐標為，
∴∴由橢圓的定義知：
∴，即，  ∴
故直線與圓C相切，直線的方程為，橢圓E的方程為

略