Question

3．已知函數(shù)f（x）=|$\frac{1}{x}$-1|．
（1）畫出函數(shù)f（x）的圖象，并寫出其單調(diào)區(qū)間；
（2）當x∈[$\frac{1}{2}$，2]，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（3）是否存在實數(shù)a，b（0＜a＜b），使當x∈[a，b]時，f（x）的值域為[$\frac{a}{6}$，$\frac{6}$]，若存在，求出a，b的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）去絕對值號得到$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}-1}&{0＜x≤1}\\{-\frac{1}{x}+1}&{x＜0，或x＞1}\end{array}\right.$，根據(jù)反比例函數(shù)$y=\frac{1}{x}$和$y=-\frac{1}{x}$的圖象即可畫出該函數(shù)的圖象，從而根據(jù)圖象即可得出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)圖象即知f（x）在$[\frac{1}{2}，2]$上的最小值為0，再比較端點值便可求出其最大值，從而得出值域；
（3）分0＜b≤1，0＜a＜1＜b，和a≥1這三種情況，根據(jù)f（x）的單調(diào)性及取得最小值0的情況求出每種情況下的f（x）在[a，b]的值域，根據(jù)f（x）的值域為$[\frac{a}{6}，\frac{6}]$，便可求出a，b，并判斷求得的a，b是否符合條件．

解答 解：（1）$f（x）=|\frac{1}{x}-1|=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}-1}&{0＜x≤1}\\{-\frac{1}{x}+1}&{x＜0，或x＞1}\end{array}\right.$，f（x）的圖象可以由反比例函數(shù)的圖象平移得到，圖象如下：
由圖象可以看出f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，0），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為：（0，1]；
（2）由圖象可以看出x$∈[\frac{1}{2}，2]$時，最小值為f（1）=0，$f（\frac{1}{2}）=1，f（2）=\frac{1}{2}$；
∴f（x）在[$\frac{1}{2}，2$]上的值域為[0，1]；
（3）①若0＜b≤1，$f（x）=\frac{1}{x}-1$，則f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減；
∴f（x）∈[f（b），f（a）]=$[\frac{1}-1，\frac{1}{a}-1]$；
又f（x）在[a，b]上的值域為$[\frac{a}{6}，\frac{6}]$；
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}-1=\frac{a}{6}}\\{\frac{1}{a}-1=\frac{6}}\end{array}\right.$；
解得b=0，與b＞0矛盾，∴這種情況不存在；
②若0＜a＜1＜b，則：
f（x）在[a，b]上的最小值為0；
∴$\frac{a}{6}=0$，a=0與a＞0矛盾，∴這種情況不存在；
③若a≥1，則f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增；
∴$f（x）∈[f（a），f（b）]=[-\frac{1}{a}+1，-\frac{1}+1]$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{a}+1=\frac{a}{6}}\\{-\frac{1}+1=\frac{6}}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=2}\end{array}\right.$（舍去）；
∴存在實數(shù)a，b（0＜a＜b），使當x∈[a，b]時，f（x）的值域為$[\frac{a}{6}，\frac{6}]$，此時a=2，b=3．

點評 考查含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值號，反比例函數(shù)的圖象，圖象的平移，以及根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)圖象求函數(shù)的值域，根據(jù)單調(diào)性定義求函數(shù)的值域．