Question

已知函數(shù)（）．

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

⑵如果是曲線上的任意一點，若以為切點的切線的斜率恒成立，求實數(shù)的最小值；

⑶討論關(guān)于的方程的實根情況．

 

Answer 1

【答案】

(1)單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；(2)；(3)見解析.

【解析】

試題分析：(1)先由對數(shù)函數(shù)的定義求出函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求解；(2)先寫出切點處的切線的斜率，然后根據(jù)已知條件得到，則有，結(jié)合二次函數(shù)在區(qū)間上的圖像與性質(zhì)，可得的最小值；(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，將方程的實根的情況轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題.由函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即最大值是，分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)，函數(shù)的圖象與軸恰有兩個交點；當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸恰有一個交點；當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸無交點.由方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系得解.

試題解析：(1)，定義域為，

則，

∵，

由得，；由得，.

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.                  2分

(2)由題意，以為切點的切線的斜率滿足：

，

所以對恒成立．

又當(dāng)時，，

所以的最小值為.                                 7分．

(3)由題意，方程化簡得：

.

令，則．

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．

所以在處取得極大值即最大值，最大值為．

所以當(dāng)，即時，的圖象與軸恰有兩個交點，

方程有兩個實根；

當(dāng)時，的圖象與軸恰有一個交點，

方程有一個實根；

當(dāng)時，的圖象與軸無交點，

方程無實根.                      12分

考點：1.對數(shù)函數(shù)的定義；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3.利用導(dǎo)數(shù)研究切線斜率；4.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)；5.方程的根與函數(shù)的零點