Question

如圖，在三棱錐中，，，設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為．

（Ⅰ）求證:；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在棱上，且，試求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)題意，由于已知條件可知平面，那么利用線面垂直的性質(zhì)定理得到。

（2）

【解析】

試題分析：證明：（I）方法一：由平面得，

又，則平面，

故，  2分

同理可得，則為矩形，又，

則為正方形，故．  4分

方法二：由已知可得，設(shè)為的中點(diǎn)，則，則平面，故平面平面，則頂點(diǎn)在底面上的射影必在，故．

（II）方法一:由（I）的證明過(guò)程知平面，過(guò)作，垂足為，則易證得，故即為二面角的平面角， 7分

由已知可得，則，故，則，

又，則，  9分

故，即二面角的余弦值為． 11分

方法二: 由（I）的證明過(guò)程知為正方形，如圖建立坐標(biāo)系，

則，

可得， 7分

則，易知平面

的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為

，則由得， 9分

則，即二面角的余弦值為． 11分

考點(diǎn)：線面垂直的性質(zhì)定理以及二面角的大小

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了線面垂直以及二面角的平面角的求解的運(yùn)用屬于基礎(chǔ)題。