Question

9．求下列函數(shù)的最值：
（1）f（x）=$\frac{1}{2}$x+sinx，x∈[0，2π]；
（2）f（x）=e^-x-e^x，x∈[0，a]（a＞0）．

Answer 1

分析 （1）首先，求解導(dǎo)數(shù)，然后，求解極值點(diǎn)，并求解極值，最后，求解端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可確定最大值和最小值；
（2）求解導(dǎo)數(shù)，得到該函數(shù)為減函數(shù)，利用單調(diào)性得到其最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1}{2}$+cosx，
令f′（x）=0，
∴x=$\frac{2π}{3}$或x=$\frac{4π}{3}$，
當(dāng)0≤x$≤\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$≤x≤2π時(shí)，f′（x）≥0，
當(dāng)$\frac{2π}{3}$＜x＜$\frac{4π}{3}$時(shí)，f′（x）＜0，
∴x=$\frac{2π}{3}$時(shí)取得極大值f（$\frac{2π}{3}$）=$\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$，
x=$\frac{4π}{3}$時(shí)取得極小值f（$\frac{4π}{3}$）=$\frac{2π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵f（0）=0，f（2π）=π，
∴最大值為π，最小值為0．
（2）∵f′（x）=-e^-x-e^x，
=-（e^-x+e^x）＜0，
∴f（x）為[0，a]上的減函數(shù)，
∴最大值為f（0）=-2，最小值為f（a）=e^-a-e^a

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)最值中的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)等知識，屬于中檔題．