Question

20．已知f（x）=xlnx，其中x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并求出其極小值；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，e]，使f（x₀）≤a，求a的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值即可；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，e]遞增；
故f（x）_極小值=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：x∈（0，e]時，f（x）_min=-$\frac{1}{e}$，
故a≥-$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．