Question

已知關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+2k=0有兩個實數(shù)根x₁，x₂．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)k使得x₁•x₂-x₁²-x₂²≥0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：（1）利用[-（2k+1）]²-4（k²+2k）≥0，即可求實數(shù)k的取值范圍；
（2）假設存在實數(shù)k使得x1•x2-x12-x22≥0成立，利用韋達定理，代入計算，即可得出結論．

解答： 解：（1）∵原方程有兩個實數(shù)根，
∴[-（2k+1）]²-4（k²+2k）≥0…（1分）
∴4k²+4k+1-4k²-8k≥0
∴1-4k≥0，…（3分）
∴k≤

1

4

．
∴當k≤

1

4

時，原方程有兩個實數(shù)根．　　　                      …（6分）
（2）假設存在實數(shù)k使得x1•x2-x12-x22≥0成立．
∵x₁，x₂是原方程的兩根，
∴x1+x2=2k+1，x1•x2=k2+2k．                      …（8分）
由x1•x2-x12-x22≥0，
得3x1•x2-(x1+x2)2≥0．
∴3（k²+2k）-（2k+1）²≥0，整理得：-（k-1）²≥0，
∴只有當k=1時，上式才能成立．                       …（10分）
又由（1）知k≤

1

4

，
∴不存在實數(shù)k使得x1•x2-x12-x22≥0成立．              …（12分）

點評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．