Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在 上只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）設(shè) 為函數(shù)的極小值點(diǎn)，證明：

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間； （2）； （3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間，注意參數(shù)的討論；

（2）分離參數(shù)，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最值求解；

（3）利用導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)單調(diào)性求解.

(1)函數(shù)定義域?yàn)镽,

因?yàn)?/span> ,

當(dāng)時(shí), 恒成立,在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí),令得

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，

綜上：當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；

當(dāng)時(shí),增區(qū)間為 ，減區(qū)間為 ,

（2）因?yàn)?/span>在上只有一個(gè)零點(diǎn),所以方程上只有一個(gè)解.

設(shè)函數(shù)則,

當(dāng)時(shí),, 當(dāng)時(shí),,

所以在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減

故 ,又,

所以的取值范圍為.

（3）由（1）知當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得極小值,

的極小值為

設(shè)函數(shù)

當(dāng)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)f(x)單調(diào)遞增；

故即所以.