Question

某工廠某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為1000x件，其中x∈[20，100]，需要投入的成本為C（x），當(dāng)x∈[20，80]時，C（x）=

1

2

x²-30x+500（萬元）；當(dāng)x∈（80，100]時，C（x）=

20000

x

（萬元）．若每一件商品售價為

lnx

x

（萬元），通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．
（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利潤L（x）等于銷售收入減去投入成本C（x），根據(jù)產(chǎn)量的范圍列出分段函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)x∈[20，80]時，利用導(dǎo)數(shù)法求最值，當(dāng)x∈（80，100]時，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值．

解答： 解：（1）由題意知L（x）=1000lnx-C（x）=

1000lnx-( 1 2 x2-30x+500)，x∈[20，80] 1000lnx- 20000 x ，x∈(80，100]

；
（2）當(dāng)x∈[20，80]時，L′（x）=-

(x-50)(x+20)

x

，
∴L（x）在[20，50）上單調(diào)遞增，[50，80）上單調(diào)遞減，
∴x=50時，L₁（x）_max=1000ln50-250（萬元）；
x∈（80，100]時，L（x）=1000lnx-

20000

x

單調(diào)遞增，
∴L₂（x）_max=1000ln100-2000（萬元）；
∵L₁（x）_max-L₂（x）_max=1750-1000ln2＞1750-1000＞0，
∴x=50，即年產(chǎn)量為50000件時，利潤最大為1000ln50-250（萬元）．

點評：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了分段函數(shù)的值域的求法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)法求最值，是中檔題．