Question

如圖，圓O是△ABC的外接圓，AB=AC，過(guò)點(diǎn)A作AP∥BC，交BO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P．
（1）求證：AP是圓O的切線(xiàn)；
（2）若圓O的半徑R=5，BC=8，求線(xiàn)段AP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由題意可知AE⊥BC且BE=CE，得出AE經(jīng)過(guò)圓心O，只要證明AP⊥AE即可；
（2）可通過(guò)△APO∽△EBO及勾股定理求出AP的長(zhǎng)．

解答：證明：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，
∵AB=AC，
∴AE平分BC，
∴點(diǎn)O在AE上．（2分）
又∵AP∥BC，
∴AE⊥AP，
∴AP為圓O的切線(xiàn)．（4分）
解：（2）∵BE=

1

2

BC=4，
∴OE=

OB2-BE2

=3，
又∵∠AOP=∠BOE，∠P=∠OBE
∴△OBE∽△OPA，（6分）
∴

BE

AP

=

OE

OA

．
即

4

AP

=

3

5

．
∴AP=

20

3

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段、切線(xiàn)的判定，先要證明AE經(jīng)過(guò)圓心，再證明垂直即可．求AP的長(zhǎng)，注意與已知線(xiàn)段相關(guān)的三角形聯(lián)系，找準(zhǔn)相似三角形．