Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，且an+1=2Sn+2n+1-1（n∈N^*）．
（1）求a₂與a₃的值；
（2）設(shè)bn=an+2n，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列{T_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）在an+1=2Sn+2n+1-1（n∈N^*）中，令n=1求得a₂，再令n=2求出a₃
（2））由于an+1=2Sn+2n+1-1（n∈N^*），當(dāng)n≥2時(shí)，an=2Sn-1+2n-1，兩式相減并整理得出an+1=3an+2n，經(jīng)驗(yàn)證n=1也適合．再考察

bn+1

bn

的比值為定值3，判定數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，在求和即可．

解答：解：（1）在an+1=2Sn+2n+1-1（n∈N^*）中，
令n=1得
a₂=2S₁+2²-1=5，
令n=2得
a₃=2S₂+2³-1=2（a₁+a₂）+2³-1=19
（2）∵an+1=2Sn+2n+1-1（n∈N^*），當(dāng)n≥2時(shí)，an=2Sn-1+2n-1，
兩式相減得：an+1-an=2an+2n，整理得出an+1=3an+2n，又a2=3a1+2 ，
所以對于任意正整數(shù)n都有an+1=3an+2n，
∴

bn+1

bn

=

an+1+2n+1

an+2n

=

3an+2n+2n+1

an+2n

=

3an+3•2n

an+2n

=

3(an+2n)

an+2n

=3
故數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，其公比為3，首項(xiàng)為b₁=a₁+2=3．
得：bn=3×3n-1=3n，
從而Tn=

3(1-3n)

1-3

=

3n+1-3

2

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的判定、通項(xiàng)公式求解．考察轉(zhuǎn)化、變形構(gòu)造、推理論證、計(jì)算能力．