Question

已知橢圓的離心率，點(diǎn)A為橢圓上一點(diǎn)，．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)動直線與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線相交于點(diǎn)Q．問：在軸上是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）橢圓C的方程為；（2）存在定點(diǎn)M，坐標(biāo)為（1，0）．

【解析】

試題分析：（1）由可得，①

，可得， 2分

在中由余弦定理可得：，又，

可得，② 4分

聯(lián)立①②得：，∴，

∴橢圓的方程為； 6分

（2）設(shè)點(diǎn)P．由，得， 8分

，化簡得，

∴ ， 10分

∴P ．

由，得Q（4，4k＋m），假設(shè)存在點(diǎn)M，坐標(biāo)為，

則，． 12分

∵以PQ為直徑的圓恒過M點(diǎn)，∴，即，

∴對任意k，m都成立．

則 ，解得，故存在定點(diǎn)M（1，0）符合題意． 14分

考點(diǎn)：考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線過定點(diǎn)問題．