Question

設(shè)P，Q是雙曲線x²-y²=4

2

上關(guān)于原點O對稱的兩點，將坐標平面沿雙曲線的一條漸近線l折成直二面角，則折疊后線段PQ長的最小值為（　�。�

• A、2

  2

• B、3

  2

• C、4

  2

• D、4

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：等軸雙曲線x2-y2=4

2

的兩條漸近線互相垂直，折疊后另一條漸近線垂直于另一個半平面，由此利用兩點間距離公式和均值定理能求出折疊后線段PQ長的最小值．

解答： 解：∵等軸雙曲線x2-y2=4

2

的兩條漸近線互相垂直，
∴折疊后另一條漸近線垂直于另一個半平面，
設(shè)P（-m，-n），Q（m，n），
則m2-n2=4

2

，
過Q作QR⊥l，垂足為R，
連結(jié)PR，則QR垂直于平面POR，
在平面直角坐標系中，若直線l的方程為x+y=0，
則直線QR的方程為x-y=m-n，
∴R（

m-n

2

，

n-m

2

），
根據(jù)兩點間的距離公式，得：
|PQ|²=|QR|²+|PR|²=（m+n）²+2（n-m）²=（m+n）²+

64

(m+n)2

≥16，
∴|PQ|_min=4．
故選：D．

點評：本題考查折疊后線段長的最小值的求法，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式和均值定理的合理運用．