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已知在一個(gè)60°的二面角α-l-β的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，AC、BD分別是在α、β內(nèi)且垂直于AB的兩條線段，又知AB=2cm，AC=3cm，BD=4cm，求：
（1）CD的長(zhǎng)；
（2）CD與AB所成的角．
分析：（1）由已知求出
CA
和
BD
所成角的大小，然后利用向量的加法運(yùn)算得
CD
=
CA
+
AB
+
BD
，兩邊求模的平方運(yùn)算后可得答案；
（2）直接由
CD
和
AB
的數(shù)量積運(yùn)算求CD與AB所成的角．
解答：解：如圖，
（1）由已知CA⊥AB，AB⊥BD，且二面角α-l-β的大小為60°，
得＜
CA
，
BD
＞=180°-60°=120°
∴|
CD
|2=(
CA
+
AB
+
BD
)2
=|
CA
|2+|
AB
|2+|
BD
|2+2×3×4×cos120°
=32+22+42-2×3×4×
1
2
=17
∴|
CD
|=
17
；
（2）、∵
CD
•
AB
=(
CA
+
AB
+
BD
)•
AB
=|
AB
|2=4
∴cos＜
CD
，
AB
＞=
CD
•
AB
|
CD
|•|
AB
|
=
4
17
×2
=
2
17
17

∴＜
CD
，
AB
＞=arccos
2
17
17

即CD與AB所成的角為arccos
2
17
17
．
點(diǎn)評(píng)：本題是與二面角有關(guān)的空間幾何體，考查了利用空間向量求解空間距離和空間角的大小，解答的關(guān)鍵是把空間向量轉(zhuǎn)化為平面向量，利用平面向量的有關(guān)運(yùn)算求解．是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•鎮(zhèn)江二模）如圖所示，有兩條道路OM與ON，∠MON=60°，現(xiàn)要鋪設(shè)三條下水管道OA，OB，AB（其中A，B分別在OM，ON上），若下水管道的總長(zhǎng)度為3km，設(shè)OA=a（km），OB=b（km）．
（1）求b關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，并指出a的取值范圍；
（2）已知點(diǎn)P處有一個(gè)污水總管的接口，點(diǎn)P到OM的距離PH為
3
4
km，到點(diǎn)O的距離PO為
7
4
km，問(wèn)下水管道AB能否經(jīng)過(guò)污水總管的接口點(diǎn)P？若能，求出a的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•臨沂二模）某高校組織的自主招生考試，共有1000名同學(xué)參加筆試，成績(jī)均介于60分到100分之間，從中隨機(jī)抽取50名同學(xué)的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分為4組：第1組[60，70），第2組[70，80），第3組[80，90），第4組[90，100]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，且筆試成績(jī)?cè)?5分（含85分）以上的同學(xué)有面試資格．
（Ⅰ）估計(jì)所有參加筆試的1000名同學(xué)中，有面試資格的人數(shù)；
（Ⅱ）已知某中學(xué)有甲、乙兩位同學(xué)取得面試資格，且甲的筆試比乙的高；面試時(shí)，要求每人回答兩個(gè)問(wèn)題，假設(shè)甲、乙兩人對(duì)每一個(gè)問(wèn)題答對(duì)的概率均為
12
；若甲答對(duì)題的個(gè)數(shù)不少于乙，則甲比乙優(yōu)先獲得高考加分資格．求甲比乙優(yōu)先獲得高考加分資格的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（09年豐臺(tái)區(qū)二模文）（14分）

        如圖，正△ABC的中線AF與中位線DE相交于點(diǎn)G，已知△A′DE是△AED繞邊DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形。

   （I）求證點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上；

   （II）當(dāng)二面角A′―DE―A為60°時(shí)，求三棱錐A′―FED的體積。

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