Question

已知橢圓C：的離心率等于，點(diǎn)P在橢圓上。
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，是否存在定直線(xiàn)：，使得與的交點(diǎn)總在直線(xiàn)上？若存在，求出一個(gè)滿(mǎn)足條件的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，.

解析試題分析：（1）由，點(diǎn)代入橢圓方程，二者聯(lián)立可以解出；（2）以的存在性分兩種情況：①不存在，直線(xiàn):,易證符合題意；②存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn):，用直線(xiàn)方程和橢圓方程聯(lián)立方程組，消參得一元二次方程，利用韋達(dá)定理得，，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/05/0/12kgc4.png" style="vertical-align:middle;" />共線(xiàn)，有，由得，得出，由于成立，所以點(diǎn)在直線(xiàn)上，綜上:存在定直線(xiàn):,使得與的交點(diǎn)總在直線(xiàn)上,的值是.
試題解析：（1）由，               2分
又點(diǎn)在橢圓上，，              4分
所以橢圓方程是：；                       5分
（2）當(dāng)垂直軸時(shí)，，則的方程是：，
的方程是：，交點(diǎn)的坐標(biāo)是：，猜測(cè):存在常數(shù),
即直線(xiàn)的方程是:使得與的交點(diǎn)總在直線(xiàn)上,         6分
證明：設(shè)的方程是，點(diǎn)，
將的方程代入橢圓的方程得到：，
即：，                  7分
從而：，                 8分
因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/df/0/1ljkd3.png" style="vertical-align:middle;" />，共線(xiàn)
所以：，，                  9分
又，
要證明共線(xiàn)，即要證明，            10分
即證明：，
即：，
即：