Question

19．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}3x-y-6≤0\\ x-y+2≥0\\ x，y≥0\end{array}\right.$，若ax+by（a，b＞0）的最大值是12，則a²+b²的最小值是$\frac{36}{13}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，利用線性規(guī)劃知識(shí)求出4a+6b=12，即2a+3b=6．再由a²+b²的幾何意義，即2a+3b=6（a＞0，b＞0）上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}3x-y-6≤0\\ x-y+2≥0\\ x，y≥0\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{3x-y-6=0}\end{array}\right.$，解得A（4，6），
令z=ax+by，化為$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，
由圖可知，當(dāng)直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$過A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為4a+6b=12，
即2a+3b=6．
a²+b²的幾何意義為2a+3b=6（a＞0，b＞0）上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得，原點(diǎn)到2a+3b=6（a＞0，b＞0）上的點(diǎn)的距離的最小值為d=$\frac{|6|}{\sqrt{13}}$，
∴a²+b²的最小值是$\frac{36}{13}$．
故答案為：$\frac{36}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．