Question

20．偶函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=f（1+x），且在x∈[0，1]時(shí)，f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，若直線kx-y+k=0（k＞0）與函數(shù)f（x）的圖象有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是$（\frac{{\sqrt{15}}}{15}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的周期性，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用直線和圓相切的條件求出直線斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：由kx-y+k=0（k＞0）得y=k（x+1），（k＞0）
則直線過定點(diǎn)A（-1，0），
當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，即（x-1）²+y²=1，（y≥0），
對(duì)應(yīng)的根據(jù)為圓心在（1，0）的上半圓，
∵f（x）滿足f（x+2）=f（x），
∴當(dāng)x∈[2，4）時(shí)，（x-3）²+y²=1，（y≥0），此時(shí)圓心為（3，0），
當(dāng)直線和圓（x-1）²+y²=1，（y≥0）相切時(shí)此時(shí)有2個(gè)交點(diǎn)
此時(shí)圓心（1，0）到直線的距離d=$\frac{|k+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍）．
當(dāng)線和圓（x-3）²+y²=1，（y≥0）相切時(shí)此時(shí)有4個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)圓心（3，0）到直線的距離d=$\frac{|3k+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=$\frac{\sqrt{15}}{15}$或k=-$\frac{\sqrt{15}}{15}$（舍）．
若若直線kx-y+k=0（k＞0）與函數(shù)f（x）的圖象有且僅有三個(gè)不同交點(diǎn)，
則直線在AB和AC之間，
則$\frac{\sqrt{15}}{15}$＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$（\frac{{\sqrt{15}}}{15}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程之間的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及直線和圓心相切的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．