Question

4．已知O是△ABC的外接圓圓心，$|\overrightarrow{AB}|=4$，D是BC中點，若$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AD}=5$，則$|\overrightarrow{AC}|$=2．

Answer 1

分析 根據(jù)圓的知識與數(shù)量積的定義得出與已知條件相關(guān)的式子$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|^2}=8$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|^2}$，
再運用向量的加法的幾何意義得出$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，代入$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AD}=5$，展開即可．

解答 解：∵AB=4，O是△ABC的外接圓圓心，

∴根據(jù)數(shù)量積意義$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|^2}=8$，
同理$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|^2}$，
∵D是BC中點，
∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}）$，
即$5=\frac{1}{2}×（8+\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|^2}）$，
∴$|\overrightarrow{AC}|=2$．
故答案為：2．

點評 本題綜合考查了向量的運算，數(shù)量積，結(jié)合幾何圖形，利用圓的知識與數(shù)量積的定義得出與已知條件相關(guān)的式子，整體運用，思維難度較大，題目很新穎．