Question

在平面直角坐標系內(nèi)，動圓過定點,且與定直線相切.

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）中心在的橢圓的一個焦點為,直線過點.若坐標原點關于直線的對稱點在曲線上，且直線與橢圓有公共點,求橢圓的長軸長取得最小值時的橢圓方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）.（2）

【解析】

試題分析：⑴由題可知，圓心到定點的距離與到定直線的距離相等     

由拋物線定義知,的軌跡是以為焦點,直線為準線的拋物線 

所以動圓圓心的軌跡的方程為.                             

⑵解法1、

設，則中點為，因為兩點關于直線對稱，所以，即，解之得8分

將其代入拋物線方程，得：，所以.                  

聯(lián)立，消去，得：             

由，得，                     

注意到，即，所以，即，                 

因此，橢圓長軸長的最小值為.此時橢圓的方程為.         

解法2、

設 ，因為兩點關于直線對稱，則，        

即，解之得                                

即,根據(jù)對稱性,不妨設點在第四象限，且直線與拋物線交于.則,于是直線方程為          

聯(lián)立，消去，得：             

由，得，                    

注意到，即，所以，即，                 

因此，橢圓長軸長的最小值為. 此時橢圓的方程為.

考點：橢圓的簡單性質(zhì)；圓的標準方程；橢圓的標準方程．

點評：本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，圓的標準方程的求法，以及解析幾何中的對稱性問

題，屬于常規(guī)題．