Question

【題目】已知橢圓C的焦點為(，0)，(，0)，且橢圓C過點M(4，1)，直線l：不過點M，且與橢圓交于不同的兩點A，B．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求證：直線MA，MB與x軸總圍成一個等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

（1）利用橢圓的定義先求出2a的值，可得出的值，再利用a、b、c之間的關(guān)系求出b的值，從而得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用斜率公式以及韋達(dá)定理計算出直線MA、MB的斜率互為相反數(shù)來證明結(jié)論成立．

（1）設(shè)橢圓的方程為，則，解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）將代入并整理得，

則，.

∵直線：與橢圓交于不同的兩點，，∴，解得，

∴直線，的斜率存在且不為零.

設(shè)直線，的斜率分別為和，只要證明.

設(shè)，，

.

故原命題成立.