Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=a, a_n+1=ca_n+1-c, N*,其中a,c為實(shí)數(shù)，且c 0.

（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)求數(shù)列｛b_n｝的前n項(xiàng)和S_n;

（Ⅲ）若0＜a_n＜1對(duì)任意N*成立，證明0＜c1.

Answer 1

本題主要考查數(shù)列的概念，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法以及不等式的證明等；考查運(yùn)算能力，綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.

解 (1) 方法一：

      

       當(dāng)時(shí)，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。

      ，即 。當(dāng)時(shí)，仍滿足上式。

      數(shù)列的通項(xiàng)公式為 。

方法二

由題設(shè)得：

n≥2時(shí)，

時(shí)，也滿足上式。

數(shù)列的通項(xiàng)公式為 。

     (2)    由（1）得

          

 

(3)       證明：由（1）知

若，則

  

由對(duì)任意成立，知。下證，用反證法

方法一：假設(shè)，由函數(shù)的函數(shù)圖象知，當(dāng)趨于無窮大時(shí)，趨于無窮大

不能對(duì)恒成立，導(dǎo)致矛盾。。

方法二：假設(shè)，，

即  恒成立    （＊）

為常數(shù)， （＊）式對(duì)不能恒成立，導(dǎo)致矛盾，