Question

18．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上的點（2，a）到焦點F的距離為3．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)動直線l與拋物線C相切于點A，且與其準(zhǔn)線相交于點B，問在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點D，使得以AB為直徑的圓恒過定點D？若存在，求出點D的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)拋物線上的點到焦點F的距離求出p的值，即可確定出拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)動直線l方程為x=ty+b，表示出B坐標(biāo)，聯(lián)立l與拋物線解析式，消去x得到關(guān)于y的方程，根據(jù)根的判別式等于0得出t與b的關(guān)系式，進而設(shè)出A與D的坐標(biāo)，表示出向量$\overrightarrow{AD}$與向量$\overrightarrow{BD}$，根據(jù)圓周角定理得到兩向量垂直，即數(shù)量積為0，列出關(guān)系式，確定出當(dāng)m=1，n=0時，上式對任意x∈R恒成立，即可得出使得以AB為直徑的圓恒過點D，以及此時D的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）由條件得到$\frac{p}{2}$=1，即p=2，
則拋物線的方程為y²=4x；
（Ⅱ）設(shè)動直線l方程為x=ty+b（t≠0），可得B（-1，$\frac{-1-b}{t}$），
聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
消去x得：y²=4（ty+b），
∴△=16t²+16b=0，即b=-t²，
設(shè)A（t²，2t），D（m，n），
∴$\overrightarrow{AD}$=（m-t²，n-2t），$\overrightarrow{BD}$=（m+1，n+$\frac{1+b}{t}$），
∵D在以AB為直徑的圓上，∴$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BD}$=0，即（m-t²）（m+1）+（n-2t）（n+$\frac{1+b}{t}$）=0，
整理得：（1-m）t²-3nt+$\frac{n}{t}$+（m²+m+n²-2）=0，
當(dāng)且僅當(dāng)m=1，n=0時，上式對任意x∈R恒成立，
則存在D（1，0），使得以AB為直徑的圓恒過點D．

點評 此題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，熟練掌握拋物線的簡單性質(zhì)是解本題第一問的關(guān)鍵．